Definition, Bedeutung

Mannigfaltigkeit bezeichnet in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal einem gewöhnlichen Euklidischen Raum gleicht. Im Ganzen muss die Mannigfaltigkeit nicht einem entsprechen (nicht zu ihm homöomorph sein).

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann man mit einer Karte auf eine Ebene abbilden. Nähert man sich dem Rand der Karte, sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschreiben; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne sie zu "zerreißen"; Weltkarten haben ja auch stets "Ränder", oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab.

Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Wenn die Kartenwechsel hinreichend glatt sind, hat man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Aus der Analysis bekannte Begriffe wie die Ableitung lassen sich auf natürliche Art auch auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt mit der Riemannschen Metrik - nach Bernhard Riemann - eine zusätzliche Struktur, die es erlaubt, Winkel und Entfernungen zu bestimmen.

Hinweis: Eine Sphäre ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, die in einen Euklidischen Raum höherer Dimension eingebettet ist. Sie ist damit ein Beispiel für eine Untermannigfaltigkeit. Eine solche Einbettung existiert zwar für jede Mannigfaltigkeit (vgl. Einbettungssatz von Whitney und Einbettungssatz von Nash), die moderne mathematische Beschreibung von Mannigfaltigkeiten nimmt aber keinen Bezug auf einen Einbettungsraum.

In der Physik finden differenzierbare Mannigfaltigkeiten Verwendung als Phasenräume in der klassischen Mechanik und als vierdimensionale pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten zur Beschreibung der Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie.

Silbentrennung

Die Silben von dem Wort 'Mannigfaltigkeit' trennt man wie folgt:

• Man|nig|fal|tig|keit

Beispielsätze mit dem Begriff 'Mannigfaltigkeit'